Pavages périodiques : des théorèmes

On s'intéresse à des motifs élémentaires permettant de réaliser des pavages périodiques du plan.

Théorème

Tout parallélogramme permet de réaliser un pavage périodique du plan.

Démonstration

Ce résultat est intuitif si l'on regarde un pavage par parallélogrammes.

Soit \(\text{ABCD}\) un parallélogramme.

• \(\text{DCEF}\) est le parallélogramme image de \(\text{ABCD}\) par la translation de vecteur \(\vec{u}=\vec{\text{AD}}\).
• \(\text{BGHC}\) est le parallélogramme image de \(\text{ABCD}\) par la translation de vecteur \(\vec{v}=\vec{\text{AB}}\).
  
• \(\text{HIEC}\) est le parallélogramme image de \(\text{ABCD}\) par la translation de vecteur \(\vec{\text{AC}}=\vec{u}+\vec{v}\). 
  

Les quatre parallélogrammes sont égaux et chacun a deux côtés en commun avec deux autres parallélogrammes. Ainsi, les translations de vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) engendrent bien un pavage. Ce pavage est donc périodique.

Conséquences

1. Tout triangle permet de réaliser un pavage périodique du plan. En effet, il suffit de considérer un triangle et son symétrique par rapport au milieu de l'un des côtés. Ils forment un parallélogramme et tout parallélogramme permet de réaliser un pavage périodique.

2. Tout rectangle permet de réaliser un pavage périodique.
3. Tout losange permet de réaliser un pavage périodique.

En effet, aussi bien le rectangle que le losange sont des parallélogrammes.